大学物理(软)

7 静电场

7.1 静电场 高斯定理

库仑定律

  F⃗=14πε0q1q2r3r⃗\ \ \displaystyle \vec{F} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{1}q_{2}}{r^{3}}\vec{r}

  ε0=8.85×10−12 (C2N−1m−2)\ \ \varepsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12}\ (\mathrm{C^{2}N^{-1}m^{-2}})

电场力的叠加原理：F⃗=∑iFi⃗\displaystyle\vec{F} = \sum_{i}\vec{F_{i}}

静电场：相对观察者静止的电荷激发的电场。

电场强度：E⃗=F⃗q0\displaystyle \vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_{0}}

点电荷在电场中受力：F⃗=q0E⃗\vec{F} = q_{0}\vec{E}

场强叠加原理：E⃗=∑iEi⃗\displaystyle\vec{E} = \sum_{i}\vec{E_{i}}

点电荷的电场：E⃗=q4πε0r3r⃗\displaystyle\vec{E} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}} \vec{r}

点电荷系的电场：E⃗=∑i=1n14πε0qiri3ri⃗\displaystyle \vec{E} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{i}}{r_{i}^{3}} \vec{r_{i}}

电荷连续分布带电体的电场

  E⃗=∫dE⃗=∫dq4πε0r3r⃗\ \ \displaystyle \vec{E} = \int\mathrm{d}\vec{E} = \int \frac{\mathrm{d}q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}} \vec{r}

  dq={ρdVσdSλdL\ \ \mathrm{d}q = \left\{\begin{array}{l}{\rho \mathrm{d} V} \\ {\sigma \mathrm{d} S} \\ {\lambda \mathrm{d} L}\end{array} \right.

电偶极子：大小相等，符号相反的点电荷 +q+q 和 −q-q 所组成的系统，它们之间的距离 ll 与其中点到场点的距离 rr 相比足够小，即 l≪rl \ll r。矢量 p⃗=ql⃗\vec{p} = q\vec{l} 称作电偶极矩，简称电矩，其中 l⃗\vec{l} 的方向由 −q-q 指向 +q+q。

电偶极子轴线 ll 的延长线上的场强：E⃗=14πε02p⃗r3\displaystyle \vec{E} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2\vec{p}}{r^{3}}

电偶极子中垂线上的场强分布：E⃗=−14πε0p⃗r3\displaystyle \vec{E} = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\vec{p}}{r^{3}}

无限长均匀带电线外的场强：E⃗=λ2πε0aj⃗\displaystyle \vec{E} = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0} a} \vec{j}

均匀带电圆盘轴线上的场强：E⃗=σ2ε0(1−xx2+R2)i⃗\displaystyle \vec{E} = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_{0}}\left(1 - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + R^{2}}}\right)\vec{i}

无限大带电平面场强：E⃗=σ2ε0i⃗\displaystyle \vec{E} = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_{0}} \vec{i}

电场线：电场中假想的曲线，其切线方向表示场强的方向，电场线的疏密表征场强的大小（规定在电场中任意一点处，通过垂直电场强度方向的单位面积上的电场线数表示该点的场强的数值）

电场线的基本性质：

电通量：通过任意曲面 SS 的总的电场线数称作通过该面的电通量 Φ\varPhi。

  Φ=∬SE⃗⋅dS⃗\displaystyle \ \ \varPhi = \iint_{S} \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{S}

对于闭合曲面，规定由内向外为法线正方向。

电通量是标量。

高斯定理：真空中的静电场内，通过任意封闭曲面的电通量等于曲面内所包围电荷电量的代数和除以真空介电常数，即：

  Φ=∯SE⃗⋅dS⃗={1ε0∑iQi（离散带电体）1ε0∫qdq（连续带电体）\displaystyle \ \ \varPhi = \oiint_{S} \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{S} = \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{\varepsilon_{0}} \sum_{i} Q_{i} &\text{（离散带电体）} \\[1.2em] \displaystyle \frac{1}{\varepsilon_{0}} \int_{q} \mathrm{d} q &\text{（连续带电体）} \end{cases}

静电场是有源场，电荷就是静电场的源。

7.2 场强环路定理 电势

电场力的功

  A=∫abE⃗⋅dr⃗\ \ \displaystyle A = \int_{a}^{b}\vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{r}

场强环路定理：在静电场中，场强沿任意闭合路径的环流等于零，静电场是无旋场。

  ∮E⃗⋅dr⃗=0\ \ \displaystyle \oint \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{r} = 0

电势

  Ua=∫a0势E⃗⋅dr⃗\ \ \displaystyle U_{a} = \int_{a}^{0\text{势}} \vec{E} \cdot \mathrm{d} \vec{r}

数量上等于把单位正电荷从 aa 点移动到电势零点电场力所做的功。

点电荷的电势

  U=Q4πε0r\ \ \displaystyle U = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r}

7.3 静电场中的导体

静电平衡的条件

导体静电平衡的条件是 E内=0E_{\text{内}} = 0，E表面⊥E_{\text{表面}} \perp 表面。

导体的电荷分布

导体表面外的电场强度与电荷面密度的关系

  E=σε0\ \ \displaystyle E = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}

静电屏蔽

7.4 静电场中的电介质

电极化强度 P⃗=ε0χeE⃗\displaystyle \vec{P} = \varepsilon_{0} \chi_{e}\vec{E}，其中 χe\chi_{e} 为电介质的电极化率。

极化电荷面密度 σ=P⃗⋅n⃗\sigma = \vec{P} \cdot \vec{n}，其中 n⃗\vec{n} 为介质表面外法向方向的单位矢量。

电介质中的高斯定理

  ∯SD⃗⋅dS⃗=∑inq0\ \ \displaystyle \oiint_{S} \vec{D} \cdot \mathrm{d} \vec{S} = \sum_{in}q_{0}

其中 D⃗=ε0(1+χe)E⃗\vec{D} = \varepsilon_{0}(1 + \chi_{e})\vec{E} 称作电位移矢量，εr=1+χe\varepsilon_{r} = 1 + \chi_{e} 称作电介质的相对介电常量，ε=ε0εr\varepsilon = \varepsilon_{0}\varepsilon_{r} 称作电介质的介电常量。

7.5 电容 电容器

孤立导体的电容

  C=QU\ \ \displaystyle C = \frac{Q}{U}

电容器的电容

  C=QU1−U2\ \ \displaystyle C = \frac{Q}{U_{1} - U_{2}}

平板电容器：C=εSd\displaystyle C = \frac{\varepsilon S}{d}

圆柱电容器：C=2πεLln⁡(R2R1)\displaystyle C = \frac{2 \pi \varepsilon L}{\displaystyle\ln\left(\frac{R_{2}}{R_{1}}\right)}

球形电容器：C=4πεR1R2R2−R1\displaystyle C = \frac{4 \pi \varepsilon R_{1} R_{2}}{R_{2} - R_{1}}

7.6 静电场的能量

能量密度 we=12εE2=12D⃗⋅E⃗\displaystyle w_{e} = \frac{1}{2} \varepsilon E^{2} = \frac{1}{2} \vec{D} \cdot \vec{E}

  We=∫dWe=∫wedV\ \ \displaystyle W_{e} = \int\mathrm{d}W_{e} = \int w_{e} \mathrm{d} V

7.7 恒定电场

  I=dqdt\ \ \displaystyle I = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}

7.8 匀速运动点电荷的电场

8 恒定磁场

8.1 磁场 磁感应强度

毕奥-萨伐尔定律：dB⃗=μ04πIdl⃗×r⃗r3\displaystyle \mathrm{d} \vec{B} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{I \mathrm{d} \vec{l} \times \vec{r}}{r^{3}}

载流直导线的磁场：B=μ0I4πa(cos⁡θ1−cos⁡θ2)\displaystyle B = \frac{\mu_{0}I}{4 \pi a}(\cos \theta_{1} - \cos \theta_{2})

无限长直导线：B=μ0I2πa\displaystyle B = \frac{\mu_{0}I}{2 \pi a}

载流圆线圈轴线上的磁场：B=μ02R2I(R2+x2)3/2\displaystyle B = \frac{\mu_{0}}{2} \frac{R^{2}I}{\left(R^{2} + x^{2}\right)^{3/2}}

圆心处的磁场：B=μ0I2R\displaystyle B = \frac{\mu_{0} I}{2 R}

无限长直螺线管：B=μ0nI\displaystyle B = \mu_{0} n I（nn 为单位长度匝数）

8.2 磁场的高斯定理

  ∯SB⃗⋅dS⃗=0\ \ \displaystyle \oiint_{S} \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{S} = 0

8.3 安培环路定理

  ∮LB⃗⋅dl⃗=μ0∑Ii\ \ \displaystyle \oint_{L} \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} = \mu_{0} \sum I_{i}

8.4 带电粒子在磁场中的运动

  F⃗洛伦兹力=qv⃗×B⃗\ \ \displaystyle \vec{F}_{\text{洛伦兹力}} = q \vec{v} \times \vec{B}

  F向心力=mv2R\ \ \displaystyle F_{\text{向心力}} = \frac{mv^{2}}{R}

8.5 磁场对电流的作用

载流导线在磁场中受到的安培力

  F⃗=∫LdF⃗=∫LIdl⃗×B⃗\ \ \displaystyle \vec{F} = \int_{L} \mathrm{d} \vec{F} = \int_{L} I \mathrm{d} \vec{l} \times \vec{B}

恒定电流在均匀磁场：F=IlBsin⁡θF = I l B \sin \theta

载流线圈在磁场中受到的力矩

磁矩 m⃗=IS⃗\vec{m} = I \vec{S}

磁力矩 M⃗=m⃗×B⃗\vec{M} = \vec{m} \times \vec{B}

磁力矩总是力图使线圈正向磁通量达到最大。

磁力矩的功 A=∫Φ1Φ2IdΦ\displaystyle A = \int_{\varPhi_{1}}^{\varPhi_{2}}I \mathrm{d} \varPhi

稳恒电流 A=I(Φ2−Φ1)\displaystyle A = I (\varPhi_{2} - \varPhi_{1})

8.5 磁介质

  B⃗=μrB⃗0\ \ \displaystyle \vec{B} = \mu_{r} \vec{B}_{0}

{μr<1抗磁质（汞、铜等）μr>1顺磁质（氧、铝等）μr≫1铁磁质\begin{cases} \mu_{r} \lt 1 & \text{抗磁质（汞、铜等）} \\ \mu_{r} \gt 1 & \text{顺磁质（氧、铝等）} \\ \mu_{r} \gg 1 & \text{铁磁质} \end{cases}

磁化强度 M⃗=∑m⃗iΔV\displaystyle \vec{M} = \frac{\sum\vec{m}_{i}}{\Delta V}（单位体积中分子磁矩的矢量和）

磁场强度 H⃗=B⃗μ0−M⃗\displaystyle \vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu_{0}} - \vec{M}

  M⃗=μr−1μB⃗\ \ \displaystyle \vec{M} = \frac{\mu_{r} - 1}{\mu} \vec{B}

  B⃗=μH⃗\ \ \vec{B} = \mu \vec{H}

  χm=μr−1\ \ \chi_{m} = \mu_{r} - 1

  ∮LH⃗⋅dl⃗=∑I0\ \ \displaystyle \oint_{L} \vec{H} \cdot \mathrm{d} \vec{l} = \sum I_{0}

9 电磁感应

9.1 法拉第电磁感应定律

  E=−dΦdt\ \ \displaystyle \mathscr{E} = - \frac{\mathrm{d} \varPhi}{\mathrm{d} t}

9.2 动生电动势和感生电动势

动生电动势

  Eab=∫ab(v⃗×B⃗)⋅dl⃗\ \ \displaystyle \mathscr{E}_{ab} = \int_{a}^{b} \left(\vec{v} \times \vec{B} \right) \cdot \mathrm{d} \vec{l}

感生电动势

  E=∮LE⃗i⋅dl⃗=−∫S∂B⃗∂t⋅dS⃗\ \ \displaystyle \mathscr{E} = \oint_{L}\vec{E}_{i} \cdot \mathrm{d} \vec{l} = - \int_{S} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot \mathrm{d} \vec{S}

9.3 自感和互感

自感系数 L=μ0n2VL = \mu_{0}n^{2}V

自感电动势 E=−dΨdt=−LdIdt\displaystyle \mathscr{E} = - \frac{\mathrm{d}\Psi}{\mathrm{d}t} = -L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}

互感系数 M=πr2μ0nM = \pi r^{2} \mu_{0} n

线圈 11 在线圈 22 中产生的互感电动势 E21=−MdI1dt\displaystyle \mathscr{E}_{21} = -M\frac{\mathrm{d}I_{1}}{\mathrm{d}t}

9.4 磁场的能量

能量密度 wm=12μB2=12B⃗⋅H⃗\displaystyle w_{m} = \frac{1}{2 \mu} B^{2} = \frac{1}{2} \vec{B} \cdot \vec{H}

  Wm=∫dWm=∫wmdV\ \ \displaystyle W_{m} = \int\mathrm{d}W_{m} = \int w_{m} \mathrm{d} V

10 麦克斯韦方程组 电磁场

6 相对论

测时 Δt′=Δt1−u2c2\displaystyle \Delta t' = \frac {\Delta t}{\displaystyle \sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}

测长 L′=L1−u2c2\displaystyle L' = L \sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}

速度变换公式

  vx′=vx−u1−uvxc2\ \ \displaystyle v_{x}' = \frac{v_{x} - u}{\displaystyle 1 - \frac{uv_{x}}{c^{2}}}

  vy′=vy1−u2c21−uvxc2\ \ \displaystyle v_{y}' = \frac{\displaystyle v_{y}\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}{\displaystyle 1 - \frac{uv_{x}}{c^{2}}}

  vz′=vz1−u2c21−uvxc2\ \ \displaystyle v_{z}' = \frac{\displaystyle v_{z}\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}{\displaystyle 1 - \frac{uv_{x}}{c^{2}}}

相对论运动质量 m=m01−v2c2\displaystyle m = \frac {m_{0}}{\displaystyle \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}

能量-动量关系 E2−p2c2=m02c4E^{2} - p^{2} c^{2} = m_{0}^{2} c^{4}

量子物理

维恩位移定律：λMT=b\lambda_{M} T = b，温度为 TT 的黑体辐射，单色辐射出射度最大的光的波长 λM\lambda_{M} 与 TT 的乘积是定值 bb。

斯特藩-玻尔兹曼定律：M=∫0∞Mνdν=σT4\displaystyle M = \int_{0}^{\infty}M_{\nu}\mathrm{d}\nu = \sigma T^{4}，一个黑体表面单位面积在单位时间内辐射出的总功率（总辐射出射度）MM 与黑体本身的热力学温度 TT 的四次方成正比。

不确定原理 ΔxΔpx≥ℏ2\displaystyle \Delta x \Delta p_{x} \ge \frac{\hbar}{2}，ΔEΔt≥ℏ2\displaystyle \Delta E \Delta t \ge \frac{\hbar}{2}

一维无限深势阱

  En=π2ℏ22ma2n2\ \ \displaystyle E_{n}=\frac{\pi^{2} \hbar^{2}}{2 m a^{2}} n^{2}

  ψn(x)=2asin⁡nπxa\ \ \displaystyle \psi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{a}} \sin \frac{n \pi x}{a}

氢原子

能量量子化 En=−Rhcn2=−13.6n2 (eV)\displaystyle E_{n}= -\frac{R h c}{n^{2}} = -\frac{13.6}{n^{2}}\ (\mathrm{eV})

主量子数 n=1,2,3,4,…n = 1,2,3,4,\dots（K, L, M, N, O, ...）

角动量量子化 L=l(l+1)ℏL=\sqrt{l(l+1)} \hbar

角量子数 l=0,1,2,3,…,n−1l = 0,1,2,3,\dots,n-1（s, p, d, f, ...）

角动量取向量子化 Lz=mlℏL_{z}=m_{l} \hbar

磁量子数 ml=0,±1,±2,…,±lm_{l} = 0, \pm 1, \pm 2, \dots, \pm l

电子自旋角动量 Lsz=msℏL_{s z}=m_{s} \hbar

自旋量子数 ms=±12\displaystyle m_{\mathrm{s}}=\pm \frac{1}{2}